Muallif: Niyozov
Parametrli chiziqli tenglama.
Parametrli chiziqli tenglama.
Chiziqli tenglama deb ax = b tenglamaga aytilishi bizga ma’lum. Bunda a va b berilgan sonlar Agar a yoki b ning oʻrniga biror harf yoki harfiy ifoda kelsa bunday tenglama parametrli tenglama deyiladi va unga harf parametr deyiladi.Masalan: a) kx = 7 b) (k2 – 1)x = k + 7
c) (a – 3)x = a + 4 d) 3x = a – 1
Koʻpincha parametrli chiziqli kvadrat tenglama berilganda quyidagi uchta savoldan bittasi qoʻyiladi.
1) parametrning qanday qiymatida tenglama bitta (yagona) ildizga ega boʻladi.
2) parametrning qanday qiymatida tenglama cheksiz koʻp ildizga ega boʻladi.
3) parametrning qanday qiymatida tenglama ildizga ega boʻlmaydi.
a) ax = b tenglama bitta yechimga ega boʻlishi uchun boʻlishi kerak, b esa har qanday son boʻlishi mumkin.
Misol: p ning qanday qiymatida tenglama bitta ildizga ega boʻladi.
Yechish:
b) ax = b tenglama cheksiz koʻp yechimga ega boʻlishi uchun bir vaqtda a = 0 va b = 0 boʻlishi kerak.
Misol: a ning qanday qiymatida (a2 – 4)x = a + 2 tenglama cheksiz koʻp ildizga ega boʻladi.
Yechish: 1) a2 – 4 = 0, a2 = 4, ,
2) a + 2 = 0 a = – 2.
J: a = – 2.
c) ax = b tenglama yechimga ega boʻlmasligi uchun a = 0 va boʻlishi kerak.
Misol: n ning qanday qiymatida n2x – n = x + 1 tenglama ildizga ega emas.
Yechish: n2x – x = n + 1, x(n2 – 1) = n + 1, n2 – 1 = 0, , , .
J: n = 1.
1 – eslatma: parametrli chiziqli tenglama berilib yuqoridagi 3 ta savoldan birortasi qoʻyilganda berilgan tenglamani ax = b shaklga keltirib soʻngra uch holatdan biri boʻyicha tekshiriladi
2 – eslatma: shu savollarga javob berish uchun javoblarni qoʻyib tekshirish ham mumkin.
3 – eslatma: misollarga mos tengsizlikni yechish kerak
Misol: 3x – 4 = 2(x – t), 3x – 4 = 2x – 2t, 3x – 2x = 4 – 2t,
x = 4 – 2t, 4 – 2t > 0, – 2t > – 4, t < 2.
Parametrli kvadrat tenglamalar. Kvadrat tenglama deb,
ax2 + bx + c = 0
koʻrinishdagi tenglamaga aytiladi. Bunda a,b,c berilgan sonlar boʻlib, boʻladi.
Agar a,b yoki c koeffisentlar oʻrinlarida biror harf yoki harfiy ifoda ishtirok etsa bunday tenglama parametrli kvadrat tenglama deyiladi.
Masalan: a) px2 + x + p – 2 = 0,
b) (a – 3)x2 + ax + a2 = 0,
c) ax2 + (a – 3)x – 2a + 5 = 0.
Parametrli kvadrat tenglamalar berilganda quyidagicha savollar qoʻyilishi mumkin.
I. Berilgan parametrning qanday qiymatlarida tenglama ikkita ildizga ega boʻladi deyilsa, D > 0 tengsizlikni yechish kerak
II. Berilgan parametrning qanday qiymatlarida tenglama ildizga ega boʻlmaydi deyilsa, D < 0 tengsizlikni yechish kerak.
III. Berilgan parametrning qanday qiymatlarida tenglama bitta yoki 2 ta bir xil ildizga ega boʻladi deyilsa, D = 0 tengsizlikni yechish kerak.
IV. Qachon tenglama ildizlaridan biri 0 ga teng boʻladi c = 0 teng- lamani yechish kerak.
V. Qachon tenglama ildizlari qarama-qarshi sonlardan iborat boʻladi deyilsa, b = 0 tenglamani yechish kerak.
VI. Agar parametrning qanday qiymatida kvadrat tenglamaning ikkala ildizi musbat yoki manfiy yoki har xil ishorali boʻladi deb soʻralsa Viyet teoremasidan foydalaniladi.
Buning uchun berilgan tenglamani x2 + px + q = 0 shaklga keltirib x1+ x2 = – p x1x2 = q ekanini bilish kerak
a) ildizlari har xil ishorali boʻlsa q < 0 tengsizlikni yechish yetarli.
b) ikki ildiz ham musbat deyilsa q > 0 va p < 0 tengsizlikning umu- miy yechimi topiladi
c) agar ikkita manfiy ildiz soʻralsa q > 0 va p > 0 tengsizliklar umu- miy yechimini topish kerak
VII. Agar parametrli tenglamada tenglama ildizlaridan biri berilsa parametrni topish uchun berilgan ildizni noma’lum o;rniga qoʻyish kerak
VIII. Koʻpgina parametrli masalalar Viyet teoremasi yordamida bajariladi.
Teorema: Agar va sonlari x2 + px + q = 0 tenglamaning il-
dizlari boʻlsa x1 + x2 = – p, x1·x2 = q boʻladi.
1 – eslatma: Agar + bx + c = 0 kvadrat tenglama qachon bitta ildizga ega boʻladi deyilsa D = 0 tenglamani yechish yetarli Agar masala shartida kvadrat tenglama deb ta’kidlanmasa a = 0 holatda ham qarash kerak.
Parametrli tengsizliklar.
Ta’rif. Tengsizlik tarkibida biror oʻzgarmas sonning oʻrniga qandaydir harf ishtirok etsa, bunday tengsizlik parametrli tengsizlik deyiladi, oʻsha harf esa parametr deyiladi.
Bunday tengsizliklarda shu parametrga bogʻliq savollar qoʻyiladi va bu savolga javob berish uchun shu parametrga nisbatan chiziqli yoki kvadrat tengsizlikni yechishga toʻgʻri keladi. Kvadrat tenglama D > 0 boʻl- ganda 2 turli ildizga D < 0 da esa umuman ildizga ega boʻlmasligini yodda tutish kerak. Bu mavzudagu savollarga oʻrganganlarimizga asosan javob bera olamiz
Misol: x2 + kx + 9 = 0 tenglama k ning qanday qiymatlarida yechimga ega emas.
Yechish: x2 + kx + 9 = 0, D = k2 – 36 < 0, (k – 6)(k + 6) < 0.
J: ( –6; 6).
Misol: tengsizliklar sistemasi a ning qanday qiymat- larida yechimga ega emas.
Yechish: 5a – 1 < ax < 3a + 1
5a – 1 < 3a + 1
tengsizlik yechimga ega boʻlmasligi uchun
J: [1, ∞).
Agar ax2 + bx + c > 0 tengsizlik x ning barcha qiymatlarida toʻgʻri boʻlsa bu tengsizlikning yechimi barcha sonlar toʻplamidan iborat boʻladi. Aksincha bu tengsizlik x ning birorta ham qiymatida bajarilmasa bu tengsizlik yechimga ega emas deyiladi.
I. Agar a > 0 va D < 0 boʻlsa ax2 + bx + c > 0 tengsizlikning yechimi boʻladi.
II. Agar a < 0 va D < 0 boʻlsa ax2 + bx + c > 0 tengsizlik yechimga ega boʻlmaydi.
III. Agar a < 0 va D < 0 boʻlsa ax2 + bx + c < 0 tengsizlikning yechi- mi boʻladi.
IV. Agar a > 0 va D < 0 boʻlsa ax2 + bx + c < 0 tengsizlik yechimga ega boʻlmaydi.
Misol: kx2 + 2x + k + 2 > 0 yechimga ega boʻlmaydigan k ning butun qiymatlari orasida eng kattasini toping.
Yechish: 1) k < 0 boʻlishi shart.
2) D = 4 – 4k(k + 2) < 0,
yoki va eng kata butun ildizi 3 ga teng.